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Wollte man eine Karte mit Hilfe der Formel für flächentreue Zylinderprojektionen eines Ellipsoids projizieren, die den Abmessungen der Peters-Karte entspricht, müssen zuerst die Daten bekannt sein, die der Peters-Karte zugrunde liegen.

Das Erdellipsoid nach Friedrich Wilhelm Bessel 1841
große Halbachse a  

6377,397155 km
kleine Halbachse b  

6356,07896325 km
Abplattung f (a - b) / a

0,0033427731144651
    1 / f

299,152818859504
Exzentrizität e Wurzel(1 - (1- f)^2)

0,081696830396505

Der Flächeninhalt der Ellipsoidzone zwischen dem Äquator und 1° N  Z = 4430108,29 km².
Der Flächeninhalt des Zonensegmentes S = Z / 180 = 24611,71 km².
Die Länge der Basislinie B = Wurzel(S) =  156,88120593 km.
Der verzerrungsfreie Breitengrad hat demnach den Umfang U = Basislinie * 180 = 28238,617067 km.
Der Radius des verzerrungsfreien Breitenkreises r = U / 2 * Pi = 4494,315492 km.
Die Formel zur Berechnung des Standard-Breitengrades Phi0 lautet:

Rückrechnung auf den Einheitskreis mit r = 1

a1 = 1
b1 = (1 / a) * b =  0,99665723
r1 = (1 / a) * r =  0,70472567

Phi0 = Arctan(Wurzel(1 - r1^2) / (b1 * r1 ))

Der Standard-Breitengrad der Peters-Karte auf der Grundlage des Bessel-Ellipsoids beträgt Phi0 = 45,288534° N/S.

Der Wert k für eine flächentreue Zylinderprojektion eines Ellipsoids errechnet sich wie folgt:

        k = Cos(Phi0) / Wurzel((1 - e^2 * Sin(Phi0)^2))

q = (1 - e^2) * (Sin(Phi) / (1 - e^2 * Sin(Phi)^2) - (1 / (2 * e)) * Log((1 - e * Sin(Phi)) / (1 + e * Sin(Phi))))
(Anm.: Log ist der natürliche Logarithmus zur Basis e = 2.718281...)

daraus ergibt sich:

für den Wert k bei Phi0 = 45,288534° N/S k =   0,70472567
für den Wert q bei Phi = 90° N q90 =  1,99554446
y = a1 * q / 2 * k also für die Kartenhöhe 1 * (2 * q90) / 2 * k y =  2,83166137
x = a1 * Lambda * k also für die Kartenbreite  1* 2 * Pi * k x =  4,42792198
Das Breiten-Höhenverhältnis x / y XY = 1,56371875

Für die nachstehende Tabelle wurden folgende Ellipsoiddaten verwendet:

Das Beispielellipsoid
analog zu dem Erdellipsoid nach Friedrich Wilhelm Bessel 1841
große Halbachse a  

1
kleine Halbachse b  

0,996657226818421
Abplattung f (a - b) / a

0,0033427731144651
    1 / f

299,152818859504
Exzentrizität e Wurzel(1 - (1- f)^2)

0,081696830396505

Die Flächeninhalte der Ellipsoidzonen wurden nach der Formel errechnet, die Prof. Walter Buchholz für Arno Peters abgeleitet hat.

  Flächentreue Zylinderprojektion (Formel für Ellipsoid mit Standard Breitengrad Phi0=45,288534° N/S)

Anwendung des Konstruktionsprinzips von Arno Peters
  k = 0,704725 Basislinie = Ö0,00060514 = 0,02459957
           
phi (°) q y Ellipsoidzone Zonensegment Zonensegment / Basislinie
0 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000
1 0,034672 0,024600 0,108925 0,000605 0,024600
2 0,069334 0,049192 0,217818 0,001210 0,049192
3 0,103975 0,073770 0,326646 0,001815 0,073770
4 0,138585 0,098325 0,435377 0,002419 0,098325
5 0,173154 0,122852 0,543979 0,003022 0,122852
6 0,207672 0,147342 0,652420 0,003625 0,147342
7 0,242128 0,171789 0,760667 0,004226 0,171789
8 0,276512 0,196184 0,868689 0,004826 0,196184
9 0,310815 0,220522 0,976453 0,005425 0,220522
10 0,345025 0,244794 1,083927 0,006022 0,244794
11 0,379132 0,268993 1,191079 0,006617 0,268993
12 0,413127 0,293112 1,297878 0,007210 0,293112
13 0,447000 0,317145 1,404292 0,007802 0,317145
14 0,480740 0,341083 1,510288 0,008390 0,341083
15 0,514337 0,364920 1,615836 0,008977 0,364920
16 0,547781 0,388648 1,720903 0,009561 0,388648
17 0,581062 0,412261 1,825459 0,010141 0,412261
18 0,614170 0,435751 1,929472 0,010719 0,435751
19 0,647096 0,459112 2,032911 0,011294 0,459112
20 0,679829 0,482336 2,135745 0,011865 0,482336
21 0,712359 0,505416 2,237943 0,012433 0,505416
22 0,744678 0,528346 2,339474 0,012997 0,528346
23 0,776774 0,551118 2,440308 0,013557 0,551118
24 0,808639 0,573726 2,540415 0,014113 0,573726
25 0,840263 0,596163 2,639764 0,014665 0,596163
26 0,871636 0,618422 2,738326 0,015213 0,618422
27 0,902749 0,640497 2,836070 0,015756 0,640497
28 0,933592 0,662380 2,932966 0,016294 0,662380
29 0,964156 0,684065 3,028987 0,016828 0,684065
30 0,994432 0,705546 3,124101 0,017356 0,705546
31 1,024411 0,726815 3,218281 0,017879 0,726815
32 1,054082 0,747867 3,311498 0,018397 0,747867
33 1,083439 0,768695 3,403722 0,018910 0,768695
34 1,112470 0,789293 3,494927 0,019416 0,789293
35 1,141168 0,809654 3,585084 0,019917 0,809654
36 1,169523 0,829772 3,674165 0,020412 0,829772
37 1,197528 0,849641 3,762144 0,020901 0,849641
38 1,225172 0,869255 3,848992 0,021383 0,869255
39 1,252449 0,888607 3,934683 0,021859 0,888607
40 1,279348 0,907692 4,019191 0,022329 0,907692
41 1,305863 0,926505 4,102490 0,022792 0,926505
42 1,331985 0,945038 4,184553 0,023248 0,945038
43 1,357705 0,963286 4,265356 0,023696 0,963286
44 1,383016 0,981244 4,344872 0,024138 0,981244
45 1,407909 0,998906 4,423078 0,024573 0,998906
46 1,432378 1,016266 4,499948 0,025000 1,016266
47 1,456414 1,033320 4,575459 0,025419 1,033320
48 1,480010 1,050061 4,649587 0,025831 1,050061
49 1,503158 1,066484 4,722309 0,026235 1,066484
50 1,525851 1,082585 4,793602 0,026631 1,082585
51 1,548082 1,098358 4,863444 0,027019 1,098358
52 1,569844 1,113798 4,931811 0,027399 1,113798
53 1,591130 1,128901 4,998684 0,027770 1,128901
54 1,611934 1,143661 5,064040 0,028134 1,143661
55 1,632248 1,158073 5,127858 0,028488 1,158073
56 1,652066 1,172134 5,190119 0,028834 1,172134
57 1,671383 1,185839 5,250803 0,029171 1,185839
58 1,690191 1,199183 5,309890 0,029499 1,199183
59 1,708484 1,212163 5,367362 0,029819 1,212163
60 1,726258 1,224773 5,423200 0,030129 1,224773
61 1,743506 1,237010 5,477385 0,030430 1,237010
62 1,760222 1,248871 5,529902 0,030722 1,248871
63 1,776402 1,260350 5,580732 0,031004 1,260350
64 1,792040 1,271445 5,629860 0,031277 1,271445
65 1,807131 1,282152 5,677269 0,031540 1,282152
66 1,821670 1,292467 5,722944 0,031794 1,292467
67 1,835652 1,302388 5,766871 0,032038 1,302388
68 1,849073 1,311910 5,809036 0,032272 1,311910
69 1,861929 1,321031 5,849424 0,032497 1,321031
70 1,874216 1,329748 5,888022 0,032711 1,329748
71 1,885928 1,338058 5,924818 0,032916 1,338058
72 1,897063 1,345959 5,959801 0,033110 1,345959
73 1,907618 1,353447 5,992958 0,033294 1,353447
74 1,917587 1,360520 6,024278 0,033468 1,360520
75 1,926969 1,367177 6,053752 0,033632 1,367177
76 1,935760 1,373414 6,081371 0,033785 1,373414
77 1,943958 1,379230 6,107123 0,033928 1,379230
78 1,951559 1,384623 6,131003 0,034061 1,384623
79 1,958561 1,389591 6,153001 0,034183 1,389591
80 1,964962 1,394133 6,173110 0,034295 1,394133
81 1,970760 1,398246 6,191324 0,034396 1,398246
82 1,975952 1,401930 6,207637 0,034487 1,401930
83 1,980538 1,405184 6,222044 0,034567 1,405184
84 1,984515 1,408006 6,234539 0,034636 1,408006
85 1,987883 1,410395 6,245119 0,034695 1,410395
86 1,990640 1,412351 6,253780 0,034743 1,412351
87 1,992785 1,413873 6,260519 0,034781 1,413873
88 1,994318 1,414960 6,265335 0,034807 1,414960
89 1,995238 1,415613 6,268224 0,034823 1,415613
90 1,995544 1,415831 6,269188 0,034829 1,415831
           
  Breite 4,427922   Breite (180 * Basislinie 4,427922
  Höhe 2,831661   Höhe 2,831661
  Verhältnis 1,563719   Verhältnis 1,563719

Aus vorstehender Tabelle ergibt sich folgender Rückschluss:
Wendet man die Formel zur Projektion einer rechtwinkligen, flächentreuen Zylinderprojektion auf das Erdellipsoid von Friedrich Wilhelm Bessel 1841 mit dem Standard-Breitengrad von 45,288534° N/S an, so ist das Ergebnis gleich dem, als hätte man die Konstruktionsmethode von Arno Peters angewendet. Beide Karten wären gleich.

 

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Datum der letzten Aktualisierung: 08. Februar 2003